お茶の冷まし方（2007年実施センターテスト物理　問４のＣ）の実験と数式による解法
熱や温度について正しく理解していないと解答できない問題が出題された。受験技術にはない良問である。実際どうなるのか実験し，また，定量的な値と比較するため，数式による解法を求めてみた。
【結果】

初めの湯の温度　６６℃　室温　２１℃
問７の方法でお湯を片方の茶碗へ移し，１分後に元の茶碗へ移して測定。

　戻した直後　Aの方法：　４３℃
　　　　　　　　 Ｂの方法：　４６℃　　

この後１分毎に測定したが，３℃の差のまま１５分間温度は下がっていった。
【解法】
方法Ａ，Ｂで用いる各湯飲みの熱容量をＣｃ，水の熱容量をＣｗ，最初の湯飲みの温度（室温に等しい）を試験問題に合わせてＴ1，最初のお湯の温度をＴ0とする。

１　方法A
最初の操作で，１つめの湯飲みとお茶の温度がＴa1になったとすると，１つ目の湯飲みが受け取った熱量Ｑca1は，
　　Ｑca1＝Ｃｃ（Ｔa1－Ｔ1）
注いだお湯が失った熱量Ｑwa1は，
　　Ｑwa1＝Ｃｗ（Ｔ0-Ｔa1）
熱量保存の法則よりＱca1＝Ｑwa1となるため，
　　Ｔa1＝（ＣwＴ0＋ＣcＴ1）/（Ｃw＋Ｃc）
したがって，１つ目の湯飲みが受け取った熱量ＱAは，
　　ＱA＝Ｑca1＝Ｃc（（ＣwＴ0＋ＣcＴ1）/（Ｃw＋Ｃc）－Ｔ1）
　　　　 ＝ＣwＣc（Ｔ0-Ｔ1）/（Ｃw＋Ｃc）
となる。

次に，このお茶を２つ目の湯飲みに移したとき，湯飲みとお茶の温度がＴa2になったとすると，２つ目の湯飲みの受け取った熱量Ｑca2は，
　　Ｑca2＝Ｃｃ（Ｔa2－Ｔ1）
注いだお湯が失った熱量Ｑwa2は，
　　Ｑwa2＝Ｃｗ（Ｔa1-Ｔa2）
熱量保存の法則よりＱca2＝Ｑwa2となるため，
　　Ｔa2＝（ＣwＴa1＋ＣcＴ1）/（Ｃw＋Ｃc）
　　　　＝（Ｃｗ2Ｔ0＋２ＣwＣcＴ1＋Ｃc2Ｔ1)/（Ｃw＋Ｃc）2
これがＴAである。

２　方法Ｂ
２つの湯飲みは同時に同じ温度のお茶を同じ量注ぐため，同じ温度になる。初めにお茶を半分注いだときの湯飲みとお茶の温度がＴb1になったとすると，１つの湯飲みの受け取った熱量Ｑcb1は，
　　Ｑcb1＝Ｃｃ（Ｔb1－Ｔ1）
注いだお湯が失った熱量Ｑwb1は，方法Ａの半分の量のお湯を注ぐため，水（お茶）の熱容量が半分のＣｗ/2になり，
　　Ｑwb1＝Ｃｗ/2（Ｔ0-Ｔb1）
熱量保存の法則よりＱcb1＝Ｑwb1となるため，
　　Ｔb1＝（ＣwＴ0＋２ＣcＴ1）/（Ｃw＋２Ｃc）

次に，このお茶を２つ目の湯飲みに移したとき，２つ目の湯飲みは，１つ目と同じ条件ででお湯が注がれているため，お茶の温度は１つ目と同じままのＴb1である。これがＴＢである。
　
空になった湯飲みが失った熱量ＱBは，１つ目の湯飲みが受け取った熱量Ｑcb1なので，
　　ＱＢ＝ＣｗＣc（Ｔ0-Ｔ1）/（Ｃw＋２Ｃc）
となる。

したがって，
　　　ＱA－ＱＢ＝ＣwＣc2（Ｔ0-Ｔ1）/（（Ｃw＋Ｃc）（Ｃw＋２Ｃc））＞０　 　∴　ＱA＞ＱＢ
　∵Ｔ0は最初に加熱したお茶の温度であり，Ｔ1は室温だから。
　
　　　ＴＢ－ＴA＝ＣwＣc2（Ｔ0-Ｔ1）/（（Ｃw＋Ｃc）2（Ｃw＋２Ｃc））＞０　　　∴　ＴＢ＞ＴA
　
これらを満たすのは選択肢の③である。

ちなみにCwとCcの比は水と湯飲みの熱容量の比であり，質量が同じときは約４．２：０．９である。また，Ｔ0＝６６℃，Ｔ1＝２１℃の値で計算すると，
　　ＴA＝４７℃，ＴＢ＝５２℃
となるが，実際は周囲へ熱が逃げていくため，これらの温度より小さな値になる。　　
【解法】
冷却曲線は図５のように温度が指数関数的に減少するため，最初温度の値が大きく減少しているときは，大量に湯飲みや空気中に熱が移動するが，室温に近づくにつれ，熱の移動は鈍化し，グラフはだんだん一定値になる。このため答は①になる。
では，式を導出してみよう。
「ある量（ここでは室温との温度差Ｔ-Ｔ1＝Ｔ’）の変化の速さ（物理量の時間変化）が周囲の量に比例する」というニュートンの式より，比例定数をλとして，
　　-ｄＴ’/ｄｔ＝λＴ’
この式は変数分離形にして積分するとよい。
　　ｄＴ’/Ｔ’＝-λｄｔ　　　　　∫ｄＴ’/Ｔ’＝-λ∫ｄｔ　　　∴　lnＴ’＝-λｔ＋Ｃ　　Ｔ’＝e-λｔ＋Ｃ＝e-λｔeＣ
ｔ＝０でＴ＝Ｔ0とすると，　Ｔ0-Ｔ1＝eＣ
したがって，図５のグラフの式が以下のように得られる。
　　Ｔ＝（Ｔ0-Ｔ1）e-λｔ＋Ｔ1

次にお茶が空気中へ放出した熱量を考える。初めの条件「湯飲み以外への熱の流出はないものとする」とは一見矛盾するが，この条件はお湯を分配した瞬間と捉えるしかない。時間とともに熱はお茶の水面と湯飲みの表面を通して空気中へ逃げていく。
周囲へ時間とともにお茶から逃げていく熱量Ｑ（ｔ）は，お茶の失った熱量なので，
　　Ｑ（ｔ）＝ＣwΔＴ＝Ｃw（Ｔ0-Ｔ）　　∵　お茶は温度Ｔ0からだんだん下がっていくため，お茶の温度変化ΔＴはこのようになる。
　∴　Ｑ（ｔ）＝Ｃw（Ｔ0-Ｔ1-（Ｔ0-Ｔ1）e-λｔ）
となる。これは①のグラフになる。